Antología de Textos Herméticos

LA TEOLOGIA DE LA ARITMETICA

AUTOR DESCONOCIDO

II
ACERCA DE LA DÍADA

De Anatolio
S
umar díada con díada es equivalente a multiplicarlas: sumarlas y multiplicarlas da el mismo resultado, y sin embargo en todos los demás casos la multiplicación es mayor que la adición.

Entre las virtudes, la comparan al valor: pues ya ha dado un paso hacia la acción. De ahí también que acostumbren a llamarla 'atrevimiento' e 'impulso'.

También le dan el nombre de 'opinión', porque en la opinión están la verdad y la falsedad. Y la llaman 'movimiento', 'generación', 'cambio', 'división', 'extensión', 'multiplicación', 'suma', 'parentesco', 'relatividad', 'la razón en la proporcionalidad'. Pues la relación entre dos números se da de toda forma concebible.

*
*    *

Así pues únicamente la díada permanece sin forma y sin la limitación de estar contenida por tres términos y su proporcionalidad, y es opuesta y contraria a la mónada más allá que cualquier otro término numérico (como la materia es contraria a Dios, o el cuerpo a lo incorpóreo), y es como si fuera el origen y fundamento de la diversidad de los números, y de ahí que se parezca a la materia; y es casi contrapuesta a la naturaleza de Dios en el sentido de que se la considera como causa del cambio y alteración de las cosas, mientras que Dios es la causa de la identidad y la estabilidad inmutable.

De ese modo toda cosa en el universo como un todo es una según la mónada natural y constitutiva en ella, pero asimismo es divisible, en cuanto a que necesariamente comparte la díada material también. De ahí que de la primera conjunción de la mónada y la díada resulte la primera pluralidad finita, el elemento de las cosas, que sería un triángulo de cantidades y números, tanto corporal como incorpóreo. Ya que así como la savia de la higuera coagula en líquida leche a causa de su propiedad activa y productiva, del mismo modo cuando el unificatorio poder de la mónada se acerca a la díada, la cual es el manantial de la fluidez y la liquidez, le instila límite, y da forma (p. ej., número) a la tríada. Pues la tríada es el origen en actualidad del número, que es por definición un sistema de mónadas. Pero en un sentido la díada es mónada teniendo en cuenta que es como una fuente.

*
*    *

La díada recibe su nombre del pasar a través o en dos;1 pues la díada es la primera en haberse separado de la mónada, por lo cual también es llamada 'atrevimiento'. Ya que, cuando la mónada manifiesta unificación, la díada se desliza insensiblemente y manifiesta separación.

*
*    *

Rige también la categoría de la relatividad, ya sea en virtud de su proporción con respecto a la mónada, que es doble, o de su proporción con respecto al siguiente número después de ella, la cual es sesquiáltera; y estas relaciones son las raíces de las proporciones que se extienden indefinidamente en cada dirección, con la consecuencia de que la díada es también en este aspecto la fuente de la multiplicación y la división.

*
*    *

La díada es también un elemento en la composición de todas las cosas, un elemento que es opuesto a la mónada, y por esta razón la díada está perpetuamente subordinada a la mónada, como la materia a la forma.

De ahí que, como la forma es capaz de concebir ser y existencia perennes, pero la materia es capaz de concebir los opuestos a éstos,2 la mónada sea la causa de las cosas que son totalmente similares e idénticas y estables (p. ej., de los cuadrados), no sólo porque la secuencia de los números impares, que son formados por la mónada, la comprende como los gnómones y produce cuadrados por progresión aritmética cumulativa (o sea, que resultan en la indefinida secuencia de los cuadrados), sino también porque cada lado, como el punto límite en una carrera desde la mónada como punto de partida hasta la mónada como punto de llegada, contiene al propio cuadrado, al sumar su trayecto de ida y el de vuelta. Por otro lado, la díada es la causa de las cosas que son totalmente disímiles (p. ej. los rectángulos), no sólo porque los tipos de cosas que son formadas por ella son los números pares, que la comprenden como gnómones, y que son producidas en progresión cumulativa, sino también porque –según la misma imagen del punto de retorno, llegada y comienzo– mientras que la mónada, como causa de la igualdad y la estabilidad en general, parece asimismo dar origen a la generación, la díada parece admitir la destrucción así como trayectos de retorno que son diferentes a los de ida, para que haya una sustancia material y capaz de admitir todo tipo de destrucción.

*
*    *

La díada sería el punto medio entre la pluralidad, que se considera corresponde a la tríada, y aquello que es opuesto a la pluralidad, que corresponde a la mónada. Por tanto tiene simultáneamente las propiedades de ambas. Se trata de la propiedad del 1, como origen, de producir algo más por adición que por la combinación del poder de multiplicación3 (y por eso es que 1+1 es más que 1x1), y de la propiedad de la pluralidad, por otro lado, como producto, de hacer lo opuesto: pues ella produce algo más por multiplicación que por adición. Porque la pluralidad ya no es como un manantial, sino que cada número se genera a partir de otro y por combinación4 (y por eso es que 3x3 es más que 3+3). Y mientras la mónada y la tríada tienen propiedades opuestas, la díada es, por así decir, el intermedio, y admitirá las propiedades de ambas a la vez, pues ocupa el punto medio entre las dos. Y decimos que el intermedio entre lo que es mayor y lo que es menor es lo que es igual. Así pues la igualdad yace en este número solo. Y el producto de su multiplicación será igual al resultado de su adición: ya que 2+2=2x2. De ahí que acostumbren a llamarla "igual".

Esto también ocasiona que todo aquello que se relacione directamente con ella tenga la misma propiedad de ser igual, lo que está claro no sólo (y esto es por lo que es la primera en expresar la igualdad de una manera sólida y plana –en el plano el número 4 expresa la igualdad de longitud y anchura, y en el sólido el número 8 la igualdad de profundidad y altura) en su pura divisibilidad en dos mónadas que son iguales entre sí, sino también en el número que se dice ha 'evolucionado' a partir de ella (esto es, 16, que es 2x2x2x2), el cual es un número plano del así llamado 'color' de base 2: pues 16 es igual a 4x4.5 Y este número es obviamente en cierto sentido una especie de término medio entre lo mayor y lo menor del mismo modo que lo es la díada. Pues los cuadrados anteriores a él tienen perímetros que son mayores que las áreas de sus superficies, mientras que los cuadrados posteriores tienen perímetros que son menores que sus superficies respectivas, pero sólo este cuadrado tiene un perímetro igual a la superficie de su área.6 Este es aparentemente el por qué Platón en el Teeteto llegó hasta 16, pero se detuvo 'por alguna razón' en el cuadrado cuya área es 17 pies, cuando se encontró con la manifestación de la propiedad específica de 16 y la apariencia de una cierta igualdad compartida.7

*
*    *

Entonces, ¿en atención a qué llamaron los antiguos a la díada 'desigualdad' y 'deficiencia y exceso'? Porque se dice de ella que es la materia, y si es la primera en la que la distancia y la noción de linearidad es visible, entonces aquí está el origen de la diferencia y la desigualdad; y además porque, al evaluarla en términos de lo que la precede, es más, mientras que al evaluar la tétrada en términos de lo que la precede es menor, y la tríada está en el medio de las dos. Así, según este enfoque alternativo se sigue, contrariamente a lo que encontramos antes, que es la tríada, más bien que lo que la precede, la que contiene el principio de igualdad. Pues 2 es mayor que lo anterior a ella (quiero decir el 1), en la manifestación primera de la relación de ser mayor que, y 4 es menos que 3+2+1, en la primera manifestación de la relación de ser menos que, y 3 es igual a 2+1 y corresponde a la relación de igualdad, que es indivisible, con la consecuencia de que el número 2 lineal está en consonancia con lo que es más, pero elevado a número plano es consonante con lo que es menos.

Se la llama también "deficiencia y exceso" y "materia" (para lo cual, de hecho, hay otro término que es la "indefinida díada") porque está en sí misma vacía de silueta y de forma y de cualquier limitación, pero es capaz de ser limitada y definida por la razón y la habilidad.

*
*    *

Los pitagóricos relacionan estrechamente la materia con la díada. Pues la materia es el origen de la diferenciación en la Naturaleza, mientras que la díada es la fuente de la diferenciación en el número; y al igual que la materia es indefinida y sin forma, así también, única entre todos los números, la díada es incapaz de recibir forma. Y no menos por la siguiente razón puede llamarse indefinida a la díada: la forma llega a la actualidad en primer lugar por medio de al menos tres ángulos o líneas; mientras que la mónada es en potencia.8

*
*    *

La díada es claramente sin forma, porque la secuencia indefinida de los polígonos surge de modo actual a partir de la triangularidad y la tríada, mientras que, como resultado de la mónada, todas las cosas están juntas en potencia, y que no hay figura rectilínea que consista en dos líneas rectas o dos ángulos. Así pues todo lo que es indefinido y sin forma pertenece a la díada sola.

*
*    *

También resulta ser "indefinidad" por ser diferencia, y la diferencia comienza por ser en contra del 1 y se extiende indefinidamente. Y puede describirse como productora de indefinidad porque la primera manifestación de la longitud o de la extensión está en la díada, basada en la mónada como punto, y la longitud es tanto indefinidamente divisible como indefinidamente extensible. Además, la naturaleza de la desigualdad procede en una indefinida secuencia cuya fuente es la díada en oposición a la mónada. Pues la distinción primera entre ambas es que una es más grande y la otra más pequeña.

La díada no es número, ni par, porque no es actual; al menos, todo número es divisible tanto en partes iguales como desiguales, pero sólo la díada no puede ser dividida en partes desiguales; y también, cuando se la divide en partes iguales, es completamente oscuro a qué clase pertenecen esas partes, pues es como una fuente.9

*
*    *

A la díada, dicen, se la llama también "Erato"; pues habiendo atraído por medio del amor el avance de la mónada como forma, genera los demás resultados, comenzando por la tríada y la tétrada.10

Aparte de la tenacidad misma, piensan que, por haber sido la primera en haber sufrido la separación, merece ser llamada "angustia", "aguante" y "penalidad".11

De la división en dos, la llaman "justicia" (como si dijéramos "dicotomía"),12 y le dicen "Isis", no sólo porque el producto de su multiplicación es igual al resultado de su adición, como dijimos,13 sino también porque sólo ella no admite la división en partes desiguales.

Y la llaman "Naturaleza", pues es un movimiento hacia el ser y, por así decir, una suerte de llegando-a-ser y una extensión a partir de una semilla principio;14 y por eso es llamada así, porque el movimiento desde una cosa a otra es a semejanza de la díada.

Algunos, sin embargo, equivocados a causa de los números que son ya efectivamente contables y secundarios, nos enseñan a considerar la díada como un sistema de dos mónadas, del que resultaría que una vez disuelto revertiría en esas mismas mónadas. Pero si la díada es un sistema de mónadas,15 entonces estas mónadas son generadas previamente; y si la mónada es la mitad de la díada, la existencia de la díada le es necesariamente anterior. Si deben conservarse sus mutuas relaciones, ellas necesariamente coexisten, porque doble es dos veces lo que es mitad, y una mitad es mitad de lo que es doble, y éstos no son ni anterior ni posterior, porque generan y son generados lo uno por lo otro y destruyen y son destruidos uno por otro.

*
*    *

También la llaman "Diometor", la madre de Zeus (decían que la mónada era "Zeus"), y "Rhea", por su flujo y extensión,16 que son propiedades tanto de la díada como de la Naturaleza, la cual en todos los aspectos está viniendo a ser. Y dicen que el nombre "díada" es apropiado para la luna, tanto porque admite más configuraciones que cualquier otro de los planetas,17 como porque se reduce a la mitad o se divide en dos: pues se dice de ella que está cortada por la mitad o en dos.

*
*    *

III
SOBRE LA TRÍADA

La tríada posee una especial belleza y claridad por encima de los demás números, primeramente porque es verdaderamente el primero en hacer actuales las potencialidades de la mónada –imparidad, perfección, proporcionalidad, unificación, límite. Pues 3 es el primer número efectivamente impar, ya que conforme a sus descripciones es "más que igual" y tiene algo más que lo igual en otra parte;18 y es especial en que es sucesiva a las dos fuentes y un sistema de ambas.

Al menos, es perfecta de una manera más particular que los demás números a los cuales los consecutivos desde la mónada a la tétrada resultan ser iguales –quiero decir, la mónada, la tríada, la héxada y la década. La mónada, como número básico de esta serie, es igual a la mónada; la tríada es igual a la mónada y la díada; la héxada es igual a la mónada, la díada y la tríada; la década es igual a la mónada, la díada, la tríada y la tétrada. Así, la tríada parece poseer algo extra al ser sucesiva a aquellos a los que a la vez es igual.

Además, la llaman "medio" y "proporción", no tanto por ser exactamente el primero de los números en tener un término central, al que en particular mantiene en una relación de igualdad con los extremos,19 sino porque a la manera de la igualdad entre cosas del mismo género, allí donde hay un término medio entre la mayor y la menor desigualdad de las especies, asimismo se lo ve como mitad del camino entre lo más y lo menos y poseyendo una naturaleza simétrica. Pues el número que viene antes que él, 2, es más que el anterior al mismo, y, siendo doble, es la raíz de la relación básica de 'ser más que'; y el número que viene después de él, 4, es menos que los números que lo preceden y, siendo sesquiáltero, es el primero en poseer verdaderamente la específica identidad de la básica relación de 'ser menos que'; pero la tríada, que se halla entre ambos, es igual a lo que la precede, y así adquiere la identidad específica de ser un término medio entre los demás.

Por tanto, teniendo esto en cuenta, hay tres términos medios denominados "verdaderos" (aritmético, geométrico y armónico); y tres que son subcontrarios a éstos;20 y tres términos en el caso de cada término medio; y tres intervalos (esto es, para cada término, las diferencias entre el pequeño y el mediano, el mediano y el grande, y el pequeño y el grande); y un número igual de razones, de acuerdo a lo que se dijo al ordenar los antecedentes; y aún aparecen al examen tres reversas, del mayor con el menor, del mayor con el mediano, y del mediano con el pequeño.21

*
*    *
 

La mónada es como una semilla, al contener en sí el principio no formado y también inarticulado de todo número; la díada es un pequeño avance hacia el número, pero todavía no es completamente un número por que es como una fuente; pero la tríada hace que el potencial de la mónada avance a la actualidad y la extensión. "Esto" pertenece a la mónada, "uno u otro/uno y otro" a la díada, y "cada uno" y "todos" a la tríada. Por eso usamos también de la tríada para la manifestación de la pluralidad, y se dice "tres veces diez mil" cuando queremos significar "muchas veces muchos", y "tres veces bendito". De ahí también que tradicionalmente se invoque tres veces a los muertos. Además, todo lo que en la Naturaleza experimenta un proceso tiene tres confines (comienzo, cumbre y fin –esto es, sus límites y su medio), y dos intervalos (esto es, crecimiento y decrecimiento), con la consecuencia de que la naturaleza de la díada y de lo "uno u otro/uno y otro" se manifiesta en la tríada por medio de sus límites.

*
*    *
 

La tríada es llamada "prudencia" y "sabiduría" –esto es, cuando la gente actúa correctamente en lo que concierne al presente, mira adelante hacia el futuro, y adquiere experiencia de lo que ya ha sucedido en el pasado: así la sabiduría examina las tres partes del tiempo, y en consecuencia el conocimiento pertenece a la tríada.

*
*    *
 

Llaman a la tríada "piedad": por lo tanto el nombre "tríada" se deriva de "terror" –esto es, miedo y precaución.22

*
*    *
 

De Anatolio
La tríada, el primer número impar, es llamado perfecto por algunos, porque es el primero en significar la totalidad –comienzo, medio y fin. Cuando la gente exalta acontecimientos extraordinarios, derivan palabras de la tríada y hablan de "tres veces bendito", "triplemente afortunado". Las oraciones y libaciones se realizan tres veces. Los triángulos al mismo tiempo reflejan y son la primera substanciación [de la cualidad] del ser plano; y hay tres tipos de triángulo –equilátero, isósceles y escaleno. Además, hay tres ángulos rectilíneos –agudo, obtuso y recto. Y hay tres partes del tiempo. Entre las virtudes, la asemejan a la moderación: pues es commensurabilidad entre el exceso y la deficiencia. Y también, la tríada da el 6 por la adición de la mónada, la díada y ella misma, y 6 es el primer número perfecto.

*
*    *

De la Teología de Nicómaco
La tríada es el origen en actualidad del número, que es por definición un sistema de mónadas. Pues la díada es en cierto sentido una mónada considerando que es como una fuente, pero la tríada es el primero en ser un sistema, de mónada y díada. Y también es verdaderamente el primero que admite fin, medio y comienzo, que son las causas de toda completitud y perfección que se alcanza.

La tríada es la forma de la conclusión de todas las cosas, y es realmente número, y da a todas las cosas uniformidad y un cierto carecer de exceso y deficiencia, habiendo definido y formado a la materia con el potencial para toda cualidad.23

Al menos, el 3 es particular y especial entre los demás números en que es igual a los números que lo preceden.

Quienes piden a Dios respuesta a sus oraciones derraman tres veces sus libaciones y realizan los sacrificios tres veces; y decimos "tres veces afortunado" y "tres veces feliz" y "tres veces bendito" y calificamos a todos los opuestos a éstos con "tres veces", en el caso de aquéllos a quienes cada una de estas características se presenta, por así decirlo, en forma perfecta.

*
*    *
 

Dicen que se la llama tríada por comparación con alguien que se mantiene firme –es decir, que no decae, que no se desgasta;24 adquiere este nombre porque es imposible dividirla en dos partes iguales.

*
*    *
 

La tríada es la primera pluralidad: pues hablamos de singular y de dual, pero luego no de triple, sino de plural, propiamente.25

*
*    *

La tríada impregna la naturaleza del número: pues hay tres tipos de número impar –primo e incompuesto, secundario y compuesto, y mezclado, que es secundario en sí mismo, pero fuera de eso primo; y de nuevo, hay números pluscuamperfectos, imperfectos y perfectos; y brevemente, en cuanto a cantidades relativas, unas son mayores, otras menores y otras iguales.

La tríada es muy adecuada a la geometría: pues el elemento básico en las figuras planas es el triángulo, y hay tres tipos de triángulo.

Hay tres configuraciones de la luna –creciente, llena y menguante; hay tres tipos de movimiento irregular de los planetas –directo, de retrogradación y, entre éstos, el modo estacionario; hay tres círculos que definen el movimiento zodiacal –el de verano, el de invierno, y el camino medio entre ambos, al que se llama la eclíptica;26 hay tres clases de criatura viviente –terrestre, alada y acuática; tres son las Parcas en teología, porque la vida entera de los seres tanto divinos como mortales está gobernada por la emisión y la recepción y en tercer lugar la devolución, con los seres celestes fertilizando en cierta manera, los terrestres recibiendo, por así decirlo, y la compensación siendo pagada por los de enmedio, como si fueran una generación entre el macho y la hembra.

Podrían relacionarse con todo ello las palabras de Homero: "Todo fue dividido en tres",27 dado que también encontramos que las virtudes son términos medios entre dos estados viciosos que se oponen el uno al otro y a la virtud;28 y no hay en esto desacuerdo con la noción de que las virtudes están bajo la mónada y son algo definido y cognoscible y son sabiduría –pues el término medio es uno– mientras que los vicios caen bajo la díada y son indefinidos, incognoscibles y carentes de sentido.

*
*    *

La llaman "amistad" y "paz", y aún "armonía" y "unanimidad"; pues todas estas son cohesionadoras y unificadoras de opuestos y disímiles. De ahí que también la llamen "matrimonio". Y hay asimismo tres edades en la vida.

 Traducción: J. M. Río

 

1ª Parte

Antología
 
NOTAS
1 Duas (díada) se vincula aquí con dia (a través, o por separado, en dos, en pedazos).
2

Para ayuda con lo que sigue ver Gnomon en el Glosario para la relación entre los cuadrados y la secuencia de los números impares, y entre los rectángulos y la secuencia de los números pares. La imagen de la carrera que viene a continuación podría considerarse así: en el caso de los cuadrados, el curso de la carrera está constituido por los números sucesivos desde el 1 a n, que es la medida del lado del cuadrado en cuestión, y el punto límite; el camino de retorno vuelve atrás a través de (n -1), (n -2) . . . hasta el 1 de nuevo. Así un cuadrado cuyos lados miden 4 tiene un trayecto de ida de 1+2+3, un punto límite de 4, y un trayecto de retorno de 3+2+1; la suma total es 16, el área del cuadrado.

Sin embargo, en el caso de los rectángulos (o, estrictamente heterométricos: ver Rectángulo en el Glosario), las cosas son distintas. Los heterométricos comienzan desde el 2, así que el camino de ida de uno cuyos lados son 5 y 4 es 2+3+4, el punto de retorno es 5, y el camino de vuelta es 3+2+1. El total (20) es nuevamente el área del heterométrico en cuestión, pero el trayecto de estos no tiene un punto de llegada igual a su punto de partida, como ocurre con los cuadrados. Los heterométricos comienzan en el 2, pero terminan en el 1. Es por esto, supongo, por lo que al final del párrafo se dice que 'admiten destrucción', porque la destrucción es la separación de la propia causa: la causa de los heterométricos es 2, pero no regresan a ella.

[El primer cuadrado tiene por lado 1 (1x1=1), el segundo 2 (su área es 4, resulta de añadir 3), el tercero 3 (área 9, resulta de añadir 5 al área cumulada), etc. es decir, se añaden sucesivamente los números impares. Con respecto a los heterométricos se ha de tener en cuenta que el primero entre los rectángulos tiene por lados 2x1, el segundo 3x2, el tercero 4x3 (se suman cada vez 2 elementos, uno en cada lado del paralelogramo); el "camino de ida", en este segundo caso, parte del 2 hasta llegar al lado más ancho pero retorna por los lados o números menores hasta el 1. N. t.]

3 El origen de algo ya está en ello, por eso si se combina (multiplica) algo por su origen, no hay incremento.
4 La tradición Pitagórica era efectivamente ambivalente sobre si la secuencia de los números era generada simplemente por adición, o a causa de la multiplicación. Rastros de esta ambivalencia volverán a aparecer en nuestro tratado.

[Los espacios en blanco que separan algunos párrafos a lo largo del texto señalan las distintas fuentes del mismo, unas conocidas, como Nicómaco o Anatolio, y otras desconocidas, y le dan el carácter de 'apuntes' al que se refiere el editor y traductor inglés en su introducción. N. t.].

5 'Color' es un término tradicional pitagórico que designa el área de una superficie. Así, 16 es un 'número plano' (p. ej., cuadrado) del 'color de base 2' (p. ej., 2 al cuadrado, 4).
6 Un cuadrado cuya área es 16 tiene cuatro lados de longitud 4 cada uno: la suma de los cuatro lados es también 16. Los cuadrados más pequeños tienen áreas menores que la suma de sus lados; los más grandes, mayores que ella.
7 Esto es, la igualdad compartida por el área y la suma de los lados (ver la nota previa). Ver Platón, Teeteto 147d.
8 [El presente párrafo aparece en el original griego en la sección de la mónada. N. t.]
9 Es oscuro el si las partes son pares o impares, mientras que la mónada es a la vez par e impar.
10 Erato es una de las Musas; su nombre está próximo a "amor" en griego.
11 A duas (díada) se la relaciona aquí con due (angustia).
12 La palabra griega que significa "justicia" es dike, y "dicotomía" diche.
13 Aquí Nicómaco relaciona Isis con ison (igual).
14 La palabra "Naturaleza" es afín a "crecimiento"; la "semilla principio" es la mónada.
15 Lo cual es la definición del número actual (ver pág. 51).
16 El nombre Rhea (la madre de los Dioses y de la Naturaleza) es similar al griego "flujo".
17 Aquí se relaciona duas (díada) con duseis (conformación, configuración).
18

Periisos (más que igual) es una palabra arreglada para que sea similar a perissos (impar); ocurre algo parecido con la frase "más que lo igual" –siendo "lo igual" la díada, presumiblemente. Podría ser también una referencia a lo afirmado en el siguiente parágrafo: la tríada es "más que solo igual" porque es sucesiva a la mónada y a la díada.

["más que lo igual en otra parte" también puede querer decir que dividida en dos tiene más en una de las partes: una unidad aritmética más, lo que viene a ser la definición de todo número impar actual –el primer impar, aunque "potencial", es la mónada. N. t.].

19 Supongo que esto quiere decir o que 3 es 1+1+1, donde el término central es igual a cualquiera de los extremos, o que en la serie 1, 2, 3, el término medio es equidistante de (el valor aritmético de) los extremos.
20 El término medio aritmético entre a y c es b si a - b = b - c; b es el término medio geométrico entre a y c si b / a = (c - b) / (b - a); b es el término medio armónico entre a y c si c / a = (c - b) / (b - a). Claramente desde temprano en la historia de las matemáticas griegas, se diferenciaron siete términos medios más. Los tres subcontrarios citados son: c / a = (b - a) / (c - b), que es subcontrario al armónico; y dos que son subcontrarios al geométrico: b / a = (b - a) / (c - b), y c / b = (b - a) / (c - b).
21 Una razón [ratio] es, digamos, 2:4, considerando que los intervalos recién mencionados son las diferencias entre cualesquiera dos términos en una proporción: el intervalo en la razón 2:4 es 2. Las "reversas" son sencillamente la expresión de las proporciones al revés, de modo que, por ejemplo, la proporción geométrica 1, 2, 4 deviene 4, 2, 1, y la razón 2:4 se convierte en 4:2.
22 Aquí se relaciona trias (tríada) con trein (experimentar temor).
23 Como la tríada es el primer número actual, y las cualidades (y todo lo demás) deben su existencia al número, la tríada es el origen de todas las cualidades.
24 Aquí se la vincula con ateires (inflexible, firme, inexorable).
25 En griego, sustantivos y adjetivos tienen tres "números": singular, dual y plural.
26 Esto es, los dos trópicos y la eclíptica: el camino aparente del sol en la esfera celeste está limitado en cada extremo por los trópicos, en los puntos de los solsticios de verano e invierno.
27 Ilíada 15.189.
28 Según Aristóteles, el análisis aceptado de las virtudes (ver también págs. 69, 82) era que cada una de ellas consistía en un término medio entre dos vicios situados a los extremos, uno excesivo, el otro defectivo, en relación con el justo medio de la virtud.